Pré-calcul Exemples

$- 4 a = [\begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 5 + 0 \cdot - 2$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20 + 0 \cdot - 2$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$- 20 + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 20$ et $0$ .

$- 20$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 20} [\begin{array}{c} - 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{20} [\begin{array}{c} - 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{20}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{20} \cdot - 5 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{20} \cdot - 5 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (4)} \cdot - 5 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 4} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 4} \cdot (5 \cdot - 1) & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.2

Associez $\frac{- 1}{4}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{4} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{20} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2 (10)} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.4.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2 \cdot 10} \cdot 2 \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.4.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{- 1}{10} \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ - \frac{1}{20} \cdot 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{20} \cdot 0$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 (\frac{1}{20}) & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{20}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & - \frac{1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{20}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{20} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{4 (5)} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{4 \cdot 5} \cdot 4 \end{array}]$

Étape 7.7.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & \frac{- 1}{5} \end{array}]$

Étape 7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{10} \\ 0 & - \frac{1}{5} \end{array}]$