Pré-calcul Exemples

$\tan (x) = \sqrt{3}$ , $\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 1

Pour déterminer la valeur de $\sin (x)$ , utilisez le fait que $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ si bien que $\sin (x) = \tan (x) \cdot \cos (x)$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (x) = \tan (x) \cdot \cos (x) = \sqrt{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

Étape 2

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\sin (x) = \tan (x) \cdot \cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3

Pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\tan (x)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 4

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 5

Pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\cos (x)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 6

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 6.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - (1 \cdot 2)$

Étape 6.3

Multipliez $- (1 \cdot 2)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - 1 \cdot 2$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = - 2$

Étape 7

Pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ , utilisez le fait que $\frac{1}{\sin (x)}$ puis remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 8

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 8.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 8.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - (1 (\frac{2}{\sqrt{3}}))$

Étape 8.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 8.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Les fonctions trigonométriques trouvées sont les suivantes :

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - 2$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$