Pré-calcul Exemples

$2 (\log_{5} (x) + 2 \log_{5} (y) - 3 \log_{5} (z))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log_{5} (y)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$2 (\log_{5} (x) + \log_{5} (y^{2}) - 3 \log_{5} (z))$

Étape 1.2

Simplifiez $- 3 \log_{5} (z)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$2 (\log_{5} (x) + \log_{5} (y^{2}) - \log_{5} (z^{3}))$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 (\log_{5} (x y^{2}) - \log_{5} (z^{3}))$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{5} (\frac{x y^{2}}{z^{3}})$

Étape 4

Simplifiez $2 \log_{5} (\frac{x y^{2}}{z^{3}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{5} ({(\frac{x y^{2}}{z^{3}})}^{2})$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x y^{2}}{z^{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{{(x y^{2})}^{2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $x y^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(y^{2})}^{2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Étape 6

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{2 \cdot 2}}{{(z^{3})}^{2}})$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{{(z^{3})}^{2}})$

Étape 7

Multipliez les exposants dans ${(z^{3})}^{2}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{3 \cdot 2}})$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})$

Étape 8

Réécrivez $\log_{5} (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 8.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x^{2} y^{4}}{z^{6}})}{\log (5)}$