Pré-calcul Exemples

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ comme ${(3 x - 2)}^{4}$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 2}$ comme ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.2.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Étape 1.3

La base logarithmique $2$ de $4$ est $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

Étape 3.2

Associez ${(3 x - 2)}^{4}$ et $\frac{x}{4}$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

Étape 4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ .

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

Étape 5

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

Étape 6

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Simplifiez $2 \log (2)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

Étape 8.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

Étape 8.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Étape 8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$