Pré-calcul Exemples

$\cos (\frac{3 π}{4} - \frac{7 π}{4})$

Étape 1

Utilisez la formule de la différence pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A - B) = \cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B)$ .

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 2

Supprimez les parenthèses.

$\cos (\frac{3 π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.5

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2^{1}}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{3 π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{1}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{7 π}{4})$

Étape 3.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{4}))$

Étape 3.11

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.12

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 3.12.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Étape 3.13

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 3.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 3.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 3.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} - \frac{2^{1}}{4}$

Étape 3.13.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{2} - \frac{2}{4}$

Étape 3.14

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 (1)}{4}$

Étape 3.14.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 1}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Étape 4.2.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$- 1$