Pré-calcul Exemples

$\tan (75)$

Étape 1

Le complément de $\tan (75)$ est l’angle qui, ajouté à $\tan (75)$ , forme un angle droit ( $90 °$ ).

$90 ° - \tan (75)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\tan (75)$ est $2 + \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

Étape 2.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

Étape 2.1.3

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

Étape 2.1.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Étape 2.1.7.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 2.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

Étape 2.1.7.1.2

Associez.

Étape 2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.1.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.7.3.2

Réécrivez l’expression.

Étape 2.1.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

Étape 2.1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.7.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

Étape 2.1.7.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Étape 2.1.7.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.7.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

Étape 2.1.7.5.3.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.7.5.3.3

Réécrivez l’expression.

Étape 2.1.7.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

Étape 2.1.7.7

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

Étape 2.1.7.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

Étape 2.1.7.9

Simplifiez

$90 - \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.7.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$90 - \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.10.2

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.10.3

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$90 - \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$90 - \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6 °}$

Étape 2.1.7.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$90 - \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6 °}$

Étape 2.1.7.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

$90 - \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.7.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$90 - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.7.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.7.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$90 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$90 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$90 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$90 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$90 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$90 - \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$90 - \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 2.1.7.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$90 - \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6 °}$

Étape 2.1.7.14.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

$90 - \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 °}$

Étape 2.1.7.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.7.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

Étape 2.1.7.14.4.2

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.7.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$90 - \frac{2 + \sqrt{3}}{1 °}$

Étape 2.1.7.14.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

Étape 3

Soustrayez $2$ de $90$ .