Pré-calcul Exemples

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x)) = - \cos (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 2.2

Développez $(\sin (x) - 1) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)}) - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)})$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.1.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 1 \frac{1}{\cos (x)}$ comme $- \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 0 - \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.3.3

Additionnez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ et $0$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)}$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.9

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \cos (x)}{1}$

Étape 2.11.2.4

Divisez $- \cos (x)$ par $1$ .

$- \cos (x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\sin (x) - 1) (\tan (x) + \sec (x)) = - \cos (x)$ est une identité