Pré-calcul Exemples

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$

Étape 2.2

Développez $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 2.3.3

Additionnez $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ et $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 2.9

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Étape 2.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 2.11.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Étape 2.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 2.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Étape 2.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Étape 2.11.2.4

Divisez $- \sin (x)$ par $1$ .

$- \sin (x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$ est une identité