Pré-calcul Exemples

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = \cot (x)$ .

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)) (\tan (x) - \cot (x))}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\tan (x) - \cot (x))}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x))}$

Étape 2.2.2.4

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.2

Pour écrire $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (x) \sin (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}}$

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x) + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.5.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.1.5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) \sin (x)}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 \frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$

Étape 3.3

Associez $2$ et $\frac{\cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{1}$

Étape 4.2

Divisez $2 \cos (x) \sin (x)$ par $1$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 4.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{2 (\tan (x) - \cot (x))}{\tan^{2} (x) - \cot^{2} (x)} = \sin (2 x)$ est une identité