Pré-calcul Exemples

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x)$

Étape 2.3

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x) + \cos (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.2

Additionnez $- \cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x) + 0}{\sin (x)}$

Étape 3.3

Additionnez $\sin (x)$ et $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sin (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (- \sin (x)) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} (\sin (x) \cdot - 1) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Étape 3.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1 + 1$

Étape 3.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Étape 3.6

Additionnez $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ et $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ comme $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\csc (x) (\csc (x) - \sin (x)) + \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)} + \cot (x) = \csc^{2} (x)$ est une identité