Pré-calcul Exemples

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Écrivez $\cot (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$

Étape 2.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (x)}{1 - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x) - \cos (x)}{\sin (x)}} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ .

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Étape 3.1.3.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.4.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 3.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Étape 3.1.6

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ .

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Étape 3.1.6.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Étape 3.1.6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\cos (x) - \sin (x)}$

Étape 3.1.6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Étape 3.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Étape 3.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{\cos (x) - \sin (x)}$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - \sin (x)}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))}$

Étape 3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- \cos (x)) - (\sin (x))$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$

Étape 3.5

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{{\cos (x)}^{2}}{- 1 (- \cos (x) + \sin (x))}$ au numérateur.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{- \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)} + \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) - \cos (x)}$

Étape 3.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (x)$ et $b = \cos (x)$ .

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x))}{\sin (x) - \cos (x)}$

Étape 3.9

Annulez le facteur commun de $\sin (x) - \cos (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x) + \cos (x) = \frac{\sin (x)}{1 - \cot (x)} + \frac{\cos (x)}{1 - \tan (x)}$ est une identité