Pré-calcul Exemples

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (2 u)$ et $b = \sin (2 u)$ .

$(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Étape 2.2

Développez $(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.3

Associez les termes opposés dans $\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$ .

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Étape 2.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (2 u) (- \sin (2 u))$ et $\sin (2 u) \cos (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) - \cos (2 u) \sin (2 u) + \cos (2 u) \sin (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \cos (2 u) \sin (2 u)$ et $\cos (2 u) \sin (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + 0 + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.3.3

Additionnez $\cos (2 u) \cos (2 u)$ et $0$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\cos (2 u) \cos (2 u)$ .

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Étape 2.4.1.1

Élevez $\cos (2 u)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.4.1.2

Élevez $\cos (2 u)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos^{1} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.4.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (2 u)}^{1 + 1} + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.4.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Étape 2.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\cos^{2} (2 u) - \sin (2 u) \sin (2 u)$

Étape 2.4.3

Multipliez $- \sin (2 u) \sin (2 u)$ .

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Étape 2.4.3.1

Élevez $\sin (2 u)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin (2 u))$

Étape 2.4.3.2

Élevez $\sin (2 u)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin^{1} (2 u))$

Étape 2.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos^{2} (2 u) - {\sin (2 u)}^{1 + 1}$

Étape 2.4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Étape 2.5

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 (2 u))$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (4 u)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$ est une identité