Pré-calcul Exemples

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez $\csc^{4} (A)$ comme ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot^{4} (A)$ comme ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ .

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ et ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Étape 2.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \csc^{2} (A)$ et $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Étape 2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\csc (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Étape 2.5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Étape 2.5.4

Réécrivez $\cot (A)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Étape 2.5.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Étape 4

Regardez maintenant le côté gauche de l’équation.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Étape 5

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 5.1

Écrivez $\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Étape 5.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (A)$ .

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Étape 5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Étape 5.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ est une identité