Pré-calcul Exemples

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Étape 2

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 2.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (t)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \csc (t)}{1 + \cot (t)}$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque à $\csc (t)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \cot (t)}$

Étape 2.3

Écrivez $\cot (t)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (t) \sin (t)$ .

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$ par $\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \sin (t)}{\cos (t) \sin (t)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)}}{1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.1.2

Associez.

$\frac{\cos (t) \sin (t) (\frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\sin (t)})}{\cos (t) \sin (t) (1 + \frac{\cos (t)}{\sin (t)})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos (t) \sin (t)$ .

$\frac{\cos (t) (\sin (t)) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (t) \sin (t) \frac{1}{\cos (t)} + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (t) + \cos (t) \sin (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $\sin (t)$ .

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (t) + \sin (t) \cos (t) \frac{1}{\sin (t)}}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \sin (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $\sin (t)$ .

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \cos (t) \frac{\cos (t)}{\sin (t)}}$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + \cos (t) \cos (t)}$

Étape 3.3.4

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} \cos (t)}$

Étape 3.3.5

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}$

Étape 3.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos (t) \sin (t) \cdot 1 + {\cos (t)}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos (t) \sin (t) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + {\cos (t)}^{2}}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $\cos (t)$ à partir de ${\cos (t)}^{2}$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos (t) (\sin (t) \cdot 1) + \cos (t) \cos (t)$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) \cdot 1 + \cos (t))}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\sin (t)$ par $1$ .

$\frac{\sin (t) + \cos (t)}{\cos (t) (\sin (t) + \cos (t))}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $\sin (t) + \cos (t)$ .

$\frac{1}{\cos (t)}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{\cos (t)}$ comme $\sec (t)$ .

$\sec (t)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\sec (t) + \csc (t)}{1 + \cot (t)} = \sec (t)$ est une identité