Pré-calcul Exemples

$\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = 1 - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x) + \cot (x)}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$ par $\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.3.2

Associez.

$\frac{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\sin (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (- \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.5.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.6.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{- \cos (x)}{\sin (x)}}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.8

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.11

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.11.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) (\sin (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.12

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.13

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.16

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.5.16.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 2.5.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}$

Étape 2.5.17

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}$

Étape 2.5.18

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

Étape 2.5.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}$

Étape 2.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{1}$

Étape 2.7

Divisez $\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 - \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 4

Soustrayez ${\cos (x)}^{2}$ de $- {\cos (x)}^{2}$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{\tan (x) - \cot (x)}{\tan (x) + \cot (x)} = 1 - 2 \cos^{2} (x)$ est une identité