Pré-calcul Exemples

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (x + y) \cos (x - y)$

Étape 2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) \cos (x - y)$

Étape 3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (- y) - \sin (x) \sin (- y))$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Comme $\cos (- y)$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- y)$ comme $\cos (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (- y))$

Étape 4.1.2

Comme $\sin (- y)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- y)$ comme $- \sin (y)$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) - \sin (x) (- \sin (y)))$

Étape 4.1.3

Multipliez $- \sin (x) (- \sin (y))$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + 1 \sin (x) \sin (y))$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2

Développez $(\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y))$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\sin (x) \cos (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Étape 4.3.1.1

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.1.2

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) {\cos (y)}^{1 + 1} \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.2

Multipliez $\sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Étape 4.3.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y)) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.3

Multipliez $\cos (x) \sin (y) (\cos (x) \cos (y))$ .

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Étape 4.3.3.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.3.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$

Étape 4.3.4

Multipliez $\cos (x) \sin (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Étape 4.3.4.1

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin (y)) \sin (x)$

Étape 4.3.4.2

Élevez $\sin (y)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) (\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)) \sin (x)$

Étape 4.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) {\sin (y)}^{1 + 1} \sin (x)$

Étape 4.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Factorisez $\sin (x) \cos (y)$ à partir de $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $\sin (x) \cos (y)$ à partir de $\sin (x) \cos^{2} (y) \cos (x)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.1.2

Factorisez $\sin (x) \cos (y)$ à partir de $\sin^{2} (x) \cos (y) \sin (y)$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.1.3

Factorisez $\sin (x) \cos (y)$ à partir de $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) \cos (y) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.2

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $\sin (x) \cos (y) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.2.2

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $\cos^{2} (x) \sin (y) \cos (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.2.3

Factorisez $\cos (y)$ à partir de $\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y))) + \cos (y) (\cos^{2} (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.4

Supprimez les parenthèses.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.5

Multipliez $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

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Étape 5.5.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.5.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.6

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) \cos (y) \cos (x)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.6.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x) \sin (y)$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 5.6.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + \cos^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x) + \sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 7

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (y) (\sin (x) (\cos (y) \cos (x)) + \sin (x) (\sin (x) \sin (y)) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 8

Multipliez $\sin (x) (\sin (x) \sin (y))$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + (1 - \sin^{2} (x)) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + 1 \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 10

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (y) + \sin (y) - \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x)) + \cos (y) (\sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- \sin^{2} (x) \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $\cos (y) (\sin (x) \cos (y) \cos (x))$ .

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Étape 12.1.1

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

${\cos (y)}^{1} \cos (y) (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12.1.2

Élevez $\cos (y)$ à la puissance $1$ .

${\cos (y)}^{1} {\cos (y)}^{1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (y)}^{1 + 1} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${\cos (y)}^{2} (\sin (x) \cos (x)) + \cos (y) ({\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y)) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12.2

Additionnez $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ et $\cos (y) (- {\sin (x)}^{2} \sin (y))$ .

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Étape 12.2.1

Remettez dans l’ordre $\cos (y)$ et $- 1$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) - 1 \cdot \cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12.2.2

Soustrayez $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ de $\cos (y) {\sin (x)}^{2} \sin (y)$ .

${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + 0 + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 12.3

Additionnez ${\cos (y)}^{2} \sin (x) \cos (x)$ et $0$ .

$\cos^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 13

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$(1 - \sin^{2} (y)) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

$\sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (y) \sin (x) \cos (x) + \cos (y) \sin (y) + \cos (x) \sin^{2} (y) \sin (x)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Additionnez $- {\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ et ${\sin (y)}^{2} \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y) + 0$

Étape 15.2

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $0$ .

$\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$

Étape 16

Réécrivez $\cos (x) \sin (x) + \cos (y) \sin (y)$ comme $\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$

Étape 17

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x + y) \cos (x - y) = \frac{\sin (x)}{\sec (x)} + \frac{\cos (y)}{\csc (y)}$ est une identité