Pré-calcul Exemples

$\tan^{2} (75)$

Étape 1

La valeur exacte de $\tan (75)$ est $2 + \sqrt{3}$ .

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Étape 1.1

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\tan^{2} (30 + 45)$

Étape 1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

${(\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)})}^{2}$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)})}^{2}$

Étape 1.6

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

${(\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

Étape 1.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Étape 1.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1})}^{2}$

Étape 1.7.1.2

Associez.

${(\frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.7.3.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Étape 1.7.3.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Étape 1.7.4

Multipliez $3$ par $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)})}^{2}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})})}^{2}$

Étape 1.7.5.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.7.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.7.5.3.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}})}^{2}$

Étape 1.7.5.3.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}})}^{2}$

Étape 1.7.6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

${(\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})}^{2}$

Étape 1.7.7

Multipliez $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})})}^{2}$

Étape 1.7.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}})}^{2}$

Étape 1.7.9

Simplifiez

${(\frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.10.2

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.10.3

Élevez $3 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.11

Réécrivez ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

${(\frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.12

Développez $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.12.1

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.12.3

Appliquez la propriété distributive.

${(\frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

${(\frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

${(\frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.13.3

Additionnez $3 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

${(\frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.14

Annulez le facteur commun à $12 + 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

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Étape 1.7.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6})}^{2}$

Étape 1.7.14.2

Factorisez $6$ à partir de $6 \sqrt{3}$ .

${(\frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6})}^{2}$

Étape 1.7.14.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)})}^{2}$

Étape 1.7.14.4.2

Annulez le facteur commun.

${(\frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1})}^{2}$

Étape 1.7.14.4.3

Réécrivez l’expression.

${(\frac{2 + \sqrt{3}}{1})}^{2}$

Étape 1.7.14.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

${(2 + \sqrt{3})}^{2}$

Étape 2

Réécrivez ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ .

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$

Étape 3

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}$

Étape 4.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}$

Étape 4.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3$

Étape 4.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Étape 4.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$7 + 4 \sqrt{3}$

Forme décimale :

$13.92820323 \dots$