Pré-calcul Exemples

$1 + \cos (8 x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$1 + \cos (2 (4 x))$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$1 + 2 \cos^{2} (2 (2 x)) - 1$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$1 + 2 {(2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ comme $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$1 + 2 {(2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.3

Développez $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 {(2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 {(2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 {(2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + 2 {(2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.4.1.2.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 {(2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 2 {(2 (2 \cdot 2 {\cos (x)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$1 + 2 {(2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$1 + 2 {(2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + 2 {(2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 + 2 {(2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 2 {(2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.4.2

Soustrayez $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 {(2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 {(2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.2.6.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$1 + 2 {(8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.6.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$1 + 2 {(8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.2.6.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 {(8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + 2 {(8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1)}^{2} - 1$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1)}^{2}$ comme $(8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) (8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1)$ .

$1 + 2 ((8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) (8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1)) - 1$

Étape 1.2.5

Développez $(8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) (8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$1 + 2 (8 \cos^{4} (x) (8 \cos^{4} (x)) + 8 \cos^{4} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + 2 (8 \cdot 8 \cos^{4} (x) \cos^{4} (x) + 8 \cos^{4} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $\cos^{4} (x)$ par $\cos^{4} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.2.1

Déplacez $\cos^{4} (x)$ .

$1 + 2 (8 \cdot 8 (\cos^{4} (x) \cos^{4} (x)) + 8 \cos^{4} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 2 (8 \cdot 8 {\cos (x)}^{4 + 4} + 8 \cos^{4} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$1 + 2 (8 \cdot 8 \cos^{8} (x) + 8 \cos^{4} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.3

Multipliez $8$ par $8$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) + 8 \cos^{4} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) + 8 \cdot - 8 \cos^{4} (x) \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.5

Multipliez $\cos^{4} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.5.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) + 8 \cdot - 8 (\cos^{2} (x) \cos^{4} (x)) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) + 8 \cdot - 8 {\cos (x)}^{2 + 4} + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.5.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) + 8 \cdot - 8 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.6

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) \cdot 1 - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) (8 \cos^{4} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cdot 8 \cos^{2} (x) \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.9

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{4} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.9.1

Déplacez $\cos^{4} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cdot 8 (\cos^{4} (x) \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cdot 8 {\cos (x)}^{4 + 2} - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.9.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cdot 8 \cos^{6} (x) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.10

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) - 8 \cos^{2} (x) (- 8 \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) - 8 \cdot - 8 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.12

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.6.12.1

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) - 8 \cdot - 8 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) - 8 \cdot - 8 {\cos (x)}^{2 + 2} - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.12.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) - 8 \cdot - 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.13

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 64 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) \cdot 1 + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.14

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 64 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 (8 \cos^{4} (x)) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.15

Multipliez $8 \cos^{4} (x)$ par $1$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 64 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) + 1 (- 8 \cos^{2} (x)) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.16

Multipliez $- 8 \cos^{2} (x)$ par $1$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 64 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 \cdot 1) - 1$

Étape 1.2.6.17

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 64 \cos^{6} (x) + 64 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Étape 1.2.7

Soustrayez $64 \cos^{6} (x)$ de $- 64 \cos^{6} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 128 \cos^{6} (x) + 8 \cos^{4} (x) + 64 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Étape 1.2.8

Additionnez $8 \cos^{4} (x)$ et $64 \cos^{4} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 128 \cos^{6} (x) + 72 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Étape 1.2.9

Additionnez $72 \cos^{4} (x)$ et $8 \cos^{4} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 128 \cos^{6} (x) + 80 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Étape 1.2.10

Soustrayez $8 \cos^{2} (x)$ de $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x) - 128 \cos^{6} (x) + 80 \cos^{4} (x) - 16 \cos^{2} (x) + 1) - 1$

Étape 1.2.11

Appliquez la propriété distributive.

$1 + 2 (64 \cos^{8} (x)) + 2 (- 128 \cos^{6} (x)) + 2 (80 \cos^{4} (x)) + 2 (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.12

Simplifiez

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Étape 1.2.12.1

Multipliez $64$ par $2$ .

$1 + 128 \cos^{8} (x) + 2 (- 128 \cos^{6} (x)) + 2 (80 \cos^{4} (x)) + 2 (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.12.2

Multipliez $- 128$ par $2$ .

$1 + 128 \cos^{8} (x) - 256 \cos^{6} (x) + 2 (80 \cos^{4} (x)) + 2 (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.12.3

Multipliez $80$ par $2$ .

$1 + 128 \cos^{8} (x) - 256 \cos^{6} (x) + 160 \cos^{4} (x) + 2 (- 16 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.12.4

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$1 + 128 \cos^{8} (x) - 256 \cos^{6} (x) + 160 \cos^{4} (x) - 32 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1$

Étape 1.2.12.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 128 \cos^{8} (x) - 256 \cos^{6} (x) + 160 \cos^{4} (x) - 32 \cos^{2} (x) + 2 - 1$

Étape 1.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + 128 \cos^{8} (x) - 256 \cos^{6} (x) + 160 \cos^{4} (x) - 32 \cos^{2} (x) + 1$

Étape 2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 128 \cos^{8} (x) - 256 \cos^{6} (x) + 160 \cos^{4} (x) - 32 \cos^{2} (x)$