Pré-calcul Exemples

$\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (\frac{x}{2})$ et $b = \sin (\frac{x}{2})$ .

$(\cos (\frac{x}{2}) + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} + \sin (\frac{x}{2})) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.6

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.8

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.1.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\cos (\frac{x}{2}) - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{1 + \cos (x)} \sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - \sin (\frac{x}{2}))$

Étape 2.2.6

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}))$

Étape 2.2.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - \cos (x)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}))$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Étape 2.2.9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - \cos (x)}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}))$

Étape 2.2.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

Étape 2.2.9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

Étape 2.2.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 2.2.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}))$

Étape 2.2.9.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

Étape 2.2.9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Étape 2.2.9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Étape 2.2.9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}))$

Étape 2.2.9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2^{1}}))$

Étape 2.2.9.6.5

Évaluez l’exposant.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{1 - \cos (x)} \sqrt{2}}{2}))$

Étape 2.2.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 3

Développez $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} \pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les termes opposés dans $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ .

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Étape 4.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$ et $(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) - (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.1.2

Additionnez $- (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ et $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + 0 + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.1.3

Additionnez $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ et $0$ .

$(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ à la puissance $1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}) + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.1.2

Élevez $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ à la puissance $1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.2

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

${(\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ comme $(1 + \cos (x)) \cdot 2$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + \cos (x)) \cdot 2}$ comme ${((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{((1 + \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.1.5

Simplifiez

$\frac{(1 + \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) \cdot 2}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 2 \cdot \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 + 2 \cos (x)$ .

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Étape 4.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (x)}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.4.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1 + 2 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2^{2}} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{4} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 + \cos (x))}{2 \cdot 2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} + (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$

Étape 4.2.8

Multipliez $- (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}) (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})$ .

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Étape 4.2.8.1

Élevez $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} (\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}))$

Étape 4.2.8.2

Élevez $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - ({(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1} {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1})$

Étape 4.2.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{1 + 1}$

Étape 4.2.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.9

Remove the plus-minus sign on $\pm \frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ because it is raised to an even power.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - {(\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2})}^{2}$

Étape 4.2.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}{2}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.11.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}}^{2}$ comme $(1 - \cos (x)) \cdot 2$ .

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Étape 4.2.11.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 - \cos (x)) \cdot 2}$ comme ${((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{({((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.11.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{{((1 - \cos (x)) \cdot 2)}^{1}}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.1.5

Simplifiez

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{(1 - \cos (x)) \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 \cdot 2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - \cos (x) \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.5

Factorisez $2$ à partir de $2 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 4.2.11.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) - 2 \cos (x)}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1) + 2 (- \cos (x))}{2^{2}}$

Étape 4.2.11.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2^{2}}$

Étape 4.2.12

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{4}$

Étape 4.2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{2 (1 - \cos (x))}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + \cos (x)}{2} - \frac{1 - \cos (x)}{2}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + \cos (x) - (1 - \cos (x))}{2}$

Étape 4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x)}{2}$

Étape 4.4.3

Multipliez $- - \cos (x)$ .

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x)}{2}$

Étape 4.4.3.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)}{2}$

Étape 4.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.5.1

Associez les termes opposés dans $1 + \cos (x) - 1 + \cos (x)$ .

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Étape 4.5.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \cos (x) + \cos (x)}{2}$

Étape 4.5.1.2

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x)}{2}$

Étape 4.5.2

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Étape 4.5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2}$

Étape 4.5.3.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x)$