Pré-calcul Exemples

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} - b^{2}})$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)})$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} \cdot \frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ par $\frac{(a + b) (a - b)}{(a + b) (a - b)}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i}{(a + b) (a - b)} \cdot \frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}})$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{b i}{(a + b) (a - b)}$ par $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}}$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} + b^{2}) ((a + b) (a - b))$ .

$(a + b i) (\frac{a ((a + b) (a - b))}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})} - \frac{b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(a + b i) \frac{a ((a + b) (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(a + b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b i) \frac{a (a (a - b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b (a - b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $a \cdot a + a (- b) + b a + b (- b)$ .

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Étape 6.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $a (- b)$ et $b a$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a - a b + a b + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- a b$ et $a b$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + 0 + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.2.3

Additionnez $a \cdot a$ et $0$ .

$(a + b i) \frac{a (a \cdot a + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} + b (- b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b \cdot b) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.3.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.3.1

Déplacez $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - (b \cdot b)) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a + b i) \frac{a (a^{2} - b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b i) \frac{a \cdot a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.5

Multipliez $a$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 6.5.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{1} a^{2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(a + b i) \frac{a^{1 + 2} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} + a (- b^{2}) - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i (a^{2} + b^{2})}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b i b^{2}}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.8

Multipliez $b$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.8.1

Déplacez $b^{2}$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.8.2

Multipliez $b^{2}$ par $b$ .

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Étape 6.8.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - (b^{2} b^{1}) i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{2 + 1} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 6.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(a + b i) \frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$

Étape 7

Multipliez $a + b i$ par $\frac{a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$ .

$\frac{(a + b i) (a^{3} - a b^{2} - b i a^{2} - b^{3} i)}{(a + b) (a - b) (a^{2} + b^{2})}$