Pré-calcul Exemples

$\tan (\frac{7 π}{6} + \frac{3 π}{4})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{7 π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\tan (\frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\tan (\frac{7 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\tan (\frac{7 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Étape 3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\tan (\frac{7 π \cdot 2}{12} + \frac{3 π \cdot 3}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\tan (\frac{7 π \cdot 2 + 3 π \cdot 3}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$\tan (\frac{14 π + 3 π \cdot 3}{12})$

Étape 5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\tan (\frac{14 π + 9 π}{12})$

Étape 5.3

Additionnez $14 π$ et $9 π$ .

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\tan (\frac{23 π}{12})$ est $- 2 + \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- \tan (\frac{π}{12})$

Étape 6.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 6.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Étape 6.7

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8

Simplifiez $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1.1

Multipliez $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Étape 6.8.1.2

Associez.

$- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ dans le numérateur.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.3.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.3.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Étape 6.8.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.5.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Étape 6.8.6

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Étape 6.8.7

Multipliez $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ par $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Étape 6.8.8

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.8.9

Simplifiez

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.10.1

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.10.2

Élevez $3 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Étape 6.8.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Étape 6.8.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Étape 6.8.11

Réécrivez ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.12

Développez $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.13.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Étape 6.8.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Étape 6.8.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Étape 6.8.13.2

Additionnez $9$ et $3$ .

$- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.13.3

Soustrayez $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.14

Annulez le facteur commun à $12 - 6 \sqrt{3}$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.14.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Étape 6.8.14.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.14.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Étape 6.8.14.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.14.4.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Étape 6.8.14.4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Étape 6.8.14.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Étape 6.8.14.4.4

Divisez $2 - \sqrt{3}$ par $1$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Étape 6.8.15

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Étape 6.8.16

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Étape 6.8.17

Multipliez $- - \sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.17.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Étape 6.8.17.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 0.26794919 \dots$