Pré-calcul Exemples

$| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$

Étape 1

Écrivez $| \frac{1}{2} x - 1 | + \frac{3}{2} x < 10$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$\frac{1}{2} x - 1 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 \geq 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{2} \geq 1$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Étape 1.2.4

Simplifiez

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \geq 1 \cdot 2$

Étape 1.2.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x \geq 1 \cdot 2$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x \geq 2$

Étape 1.3

Dans la partie où $\frac{1}{2} x - 1$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$\frac{1}{2} x - 1 < 0$

Étape 1.5

Résolvez l’inégalité.

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Étape 1.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} - 1 < 0$

Étape 1.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{2} < 1$

Étape 1.5.3

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Étape 1.5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{2} \cdot 2 < 1 \cdot 2$

Étape 1.5.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x < 1 \cdot 2$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$x < 2$

Étape 1.6

Dans la partie où $\frac{1}{2} x - 1$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{1}{2} x - 1 + \frac{3}{2} x < 10$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{2} - 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} - 1 + \frac{x + 3 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.3

Additionnez $x$ et $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{4 x}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 (1)} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

${\begin{cases} - 1 + \frac{2 x}{1} < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.8.4.2.4

Divisez $2 x$ par $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $- (\frac{1}{2} x - 1) + \frac{3}{2} x < 10$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - (\frac{x}{2} - 1) + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} - - 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3}{2} x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ - \frac{x}{2} + 1 + \frac{3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{- x + 3 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.3

Additionnez $- x$ et $3 x$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + \frac{2 x}{2} < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 1.9.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

${\begin{cases} - 1 + 2 x < 10 & x \geq 2 \\ 1 + x < 10 & x < 2 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $- 1 + 2 x < 10$ quand $x \geq 2$ .

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Étape 2.1

Résolvez $- 1 + 2 x < 10$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$2 x < 10 + 1$

Étape 2.1.1.2

Additionnez $10$ et $1$ .

$2 x < 11$

Étape 2.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x < 11$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x < 11$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} < \frac{11}{2}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{11}{2}$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < \frac{11}{2}$ et $x \geq 2$ .

$2 \leq x < \frac{11}{2}$

Étape 3

Résolvez $1 + x < 10$ quand $x < 2$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < 10 - 1$

Étape 3.1.2

Soustrayez $1$ de $10$ .

$x < 9$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x < 9$ et $x < 2$ .

$x < 2$

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

$x < \frac{11}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < \frac{11}{2}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{11}{2})$

Étape 6