Pré-calcul Exemples

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$x = 0, - 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x (x + 1) = 0$

Étape 9.2

Résolvez $x$ .

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Étape 9.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 9.2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 9.2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 9.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 9.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $2.08\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.5$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 2$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $2.1\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 0$ Faux

$x > 0$ Vrai

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $x > 0$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 1 or x > 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Étape 14