Pré-calcul Exemples

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{13}{4 - x^{2}}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{2}{x + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.3

Pour écrire $\frac{x}{2 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 2) (2 - x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{2}{x + 2}$ par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $\frac{x}{2 - x}$ par $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.4.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.7

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.6.8

Additionnez $4 + x^{2}$ et $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Étape 2.8

Réorganisez les facteurs de $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Soustrayez $13$ de $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Étape 2.10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Étape 2.10.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 8

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 9

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Étape 10

Consolidez les solutions.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Étape 11

Déterminez le domaine de $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

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Étape 11.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x$ .

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Étape 11.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 11.2.2

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.2.2.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 11.2.2.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 11.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 11.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 11.2.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 11.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 11.2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 11.2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 11.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 - x) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 2, - 2$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $- 1.25$ est inférieur au côté droit $- 0.40625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2.5$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $- 2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 4.\overline{5}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 5.\overline{7}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $1$ est inférieur au côté droit $3.25$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.4

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2.5$

Étape 13.4.2

Remplacez $x$ par $2.5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Étape 13.4.3

Le côté gauche $- 4.\overline{5}$ n’est pas inférieur au côté droit $- 5.\overline{7}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 13.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 13.5.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Étape 13.5.3

Le côté gauche $- 1.25$ est inférieur au côté droit $- 0.40625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

$x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 2$ Vrai

$2 < x < 3$ Faux

$x > 3$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 3$ ou $- 2 < x < 2$ ou $x > 3$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Étape 16