Pré-calcul Exemples

$1 + \frac{3 y}{1 - y} > 2$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Étape 2

Simplifiez $1 + \frac{3 y}{1 - y} - 2$ .

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Étape 2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Étape 2.1.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} - 2 > 0$

Étape 2.1.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} > 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{1 - y}{1 - y} > 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{1 - y}{1 - y}$ .

$\frac{1 - y}{1 - y} + \frac{3 y}{1 - y} + \frac{- 2 (1 - y)}{1 - y} > 0$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 (1 - y)}{- y + 1} > 0$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 - y + 3 y - 2 \cdot 1 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 - 2 (- y)}{- y + 1} > 0$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{1 - y + 3 y - 2 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Étape 2.4

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- y + 3 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Étape 2.5

Additionnez $- y$ et $3 y$ .

$\frac{2 y - 1 + 2 y}{- y + 1} > 0$

Étape 2.6

Additionnez $2 y$ et $2 y$ .

$\frac{4 y - 1}{- y + 1} > 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y) + 1} > 0$

Étape 2.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y) - 1 (- 1)} > 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- (y - 1)} > 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- (y - 1)$ comme $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{4 y - 1}{- 1 (y - 1)} > 0$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 y - 1}{y - 1} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$4 y - 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Étape 4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 y = 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $4 y = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 y = 1$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{4}$

Étape 6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

Étape 7

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$y = \frac{1}{4}$

$y = 1$

Étape 8

Consolidez les solutions.

$y = \frac{1}{4}, 1$

Étape 9

Déterminez le domaine de $- \frac{4 y - 1}{y - 1}$ .

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Étape 9.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 y - 1}{y - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$y - 1 = 0$

Étape 9.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 1$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} < y < 1$

$y > 1$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < \frac{1}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < \frac{1}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 11.1.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{3 (0)}{1 - (0)} > 2$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $1$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < y < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{1}{4} < y < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0.62$

Étape 11.2.2

Remplacez $y$ par $0.62$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{3 (0.62)}{1 - (0.62)} > 2$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $5.89473684$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 4$

Étape 11.3.2

Remplacez $y$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$1 + \frac{3 (4)}{1 - (4)} > 2$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $- 3$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < \frac{1}{4}$ Faux

$\frac{1}{4} < y < 1$ Vrai

$y > 1$ Faux

$y < \frac{1}{4}$ Faux

$\frac{1}{4} < y < 1$ Vrai

$y > 1$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{1}{4} < y < 1$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{1}{4} < y < 1$

Notation d’intervalle :

$(\frac{1}{4}, 1)$

Étape 14