Pré-calcul Exemples

$5 > \sqrt{2 y + 7}$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\sqrt{2 y + 7} < 5$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{2 y + 7}}^{2} < 5^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y + 7}$ comme ${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 5^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 5^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 7)}^{1} < 5^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 y + 7 < 5^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$2 y + 7 < 25$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 y < 25 - 7$

Étape 4.1.2

Soustrayez $7$ de $25$ .

$2 y < 18$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 y < 18$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y < 18$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} < \frac{18}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y < \frac{18}{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $18$ par $2$ .

$y < 9$

Étape 5

Déterminez le domaine de $5 - \sqrt{2 y + 7}$ .

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Étape 5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 y + 7}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 y + 7 \geq 0$

Étape 5.2

Résolvez $y$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’inégalité.

$2 y \geq - 7$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y \geq - 7$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y \geq - 7$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} \geq \frac{- 7}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y \geq \frac{- 7}{2}$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y \geq - \frac{7}{2}$

Étape 5.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{7}{2}, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$y < - \frac{7}{2}$

$- \frac{7}{2} < y < 9$

$y > 9$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $y < - \frac{7}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y < - \frac{7}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = - 6$

Étape 7.1.2

Remplacez $y$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$5 > \sqrt{2 (- 6) + 7}$

Étape 7.1.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7}{2} < y < 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{7}{2} < y < 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 0$

Étape 7.2.2

Remplacez $y$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$5 > \sqrt{2 (0) + 7}$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $2.64575131$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $y > 9$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $y > 9$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$y = 12$

Étape 7.3.2

Remplacez $y$ par $12$ dans l’inégalité d’origine.

$5 > \sqrt{2 (12) + 7}$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $5$ n’est pas supérieur au côté droit $5.56776436$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$y < - \frac{7}{2}$ Faux

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Vrai

$y > 9$ Faux

$y < - \frac{7}{2}$ Faux

$- \frac{7}{2} < y < 9$ Vrai

$y > 9$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \frac{7}{2} < y < 9$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{7}{2}, 9)$

Étape 10