Pré-calcul Exemples

$(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Étape 1

Développez $(\sqrt{3} + \sqrt{15} i) (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} (\sqrt{3} - \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i (\sqrt{3} - \sqrt{15} i)$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{9} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$3 + \sqrt{3} (- \sqrt{15} i) + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.5

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{15} i)$ .

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Étape 2.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 - \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $3$ par $15$ .

$3 - \sqrt{45} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.6

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$3 - \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 - \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 - (3 \sqrt{5}) i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i \sqrt{3} + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.9

Multipliez $\sqrt{15} i \sqrt{3}$ .

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Étape 2.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3 \cdot 15} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.9.2

Multipliez $3$ par $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{45} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.10

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.10.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{9 (5)} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + \sqrt{3^{2} \cdot 5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + \sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$

Étape 2.1.12

Multipliez $\sqrt{15} i (- \sqrt{15} i)$ .

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Étape 2.1.12.1

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) i)$

Étape 2.1.12.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) i)$

Étape 2.1.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{1 + 1} i)$

Étape 2.1.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + i (- {\sqrt{15}}^{2} i)$

Étape 2.1.12.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i)$

Étape 2.1.12.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Étape 2.1.12.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{1 + 1}$

Étape 2.1.12.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {\sqrt{15}}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.13

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 2.1.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Étape 2.1.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 2.1.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Étape 2.1.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15^{1} i^{2}$

Étape 2.1.13.5

Évaluez l’exposant.

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 1 \cdot 15 i^{2}$

Étape 2.1.14

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 i^{2}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i - 15 \cdot - 1$

Étape 2.1.16

Multipliez $- 15$ par $- 1$ .

$3 - 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 15$

Étape 2.2

Additionnez $3$ et $15$ .

$- 3 \sqrt{5} i + 3 \sqrt{5} i + 18$

Étape 2.3

Additionnez $- 3 \sqrt{5} i$ et $3 \sqrt{5} i$ .

$0 + 18$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $18$ .

$18$