Pré-calcul Exemples

$\frac{{(x + h)}^{4} - x^{4}}{h}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + h)}^{4}$ comme ${({(x + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - x^{4}}{h}$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(x + h)}^{2})}^{2} - {(x^{2})}^{2}}{h}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(x + h)}^{2}$ et $b = x^{2}$ .

$\frac{({(x + h)}^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$\frac{((x + h) (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.2

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (x + h) + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x h + h (x + h) + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h \cdot h + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.3.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{(x^{2} + x h + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.3.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 1.4.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$\frac{(x^{2} + h x + h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.3.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + x^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.4

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ({(x + h)}^{2} - x^{2})}{h}$

Étape 1.4.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x + h$ et $b = x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((x + h + x) (x + h - x))}{h}$

Étape 1.4.6

Simplifiez

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Étape 1.4.6.1

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (x + h - x))}{h}$

Étape 1.4.6.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) (h + 0))}{h}$

Étape 1.4.6.3

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) ((h + 2 x) h)}{h}$

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x) h}{h}$

Étape 2.2

Divisez $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ par $1$ .

$(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$

Étape 3

Développez $(2 x^{2} + 2 h x + h^{2}) (h + 2 x)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{2} h + 2 x^{2} (2 x) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{2} x + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{2} h + 2 \cdot 2 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h x h + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.4

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1

Déplacez $h$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 (h \cdot h) x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.4.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x (2 x) + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h (x \cdot x) \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} \cdot 2 + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h + h^{2} (2 x)$

Étape 4.7

Multipliez $h^{2}$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.7.1

Multipliez $h^{2}$ par $h$ .

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Étape 4.7.1.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2} h^{1} + h^{2} (2 x)$

Étape 4.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{2 + 1} + h^{2} (2 x)$

Étape 4.7.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + h^{2} (2 x)$

Étape 4.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{2} h + 4 x^{3} + 2 h^{2} x + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Étape 5

Additionnez $2 x^{2} h$ et $4 h x^{2}$ .

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Étape 5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 2 h x^{2} + 4 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Étape 5.2

Additionnez $2 h x^{2}$ et $4 h x^{2}$ .

$4 x^{3} + 2 h^{2} x + 6 h x^{2} + h^{3} + 2 h^{2} x$

Étape 6

Additionnez $2 h^{2} x$ et $2 h^{2} x$ .

$4 x^{3} + 6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x$

Étape 7

Remettez dans l’ordre.

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Étape 7.1

Déplacez $4 x^{3}$ .

$6 h x^{2} + h^{3} + 4 h^{2} x + 4 x^{3}$

Étape 7.2

Déplacez $6 h x^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$