Pré-calcul Exemples

$\frac{\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} - x - 1}}{\frac{x^{2} - 4}{2 x^{2} - 3 x - 2}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} - 1}{2 x^{2} - x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{2 x^{2} - x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x^{2} - x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x^{2} - (x) - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x^{2} + (1 - 2) x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x^{2} + x - 2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(2 x^{2} + x) - 2 x - 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (2 x + 1) - (2 x + 1)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 (x) - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{2} + (1 - 4) x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{2} + x - 4 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(2 x^{2} + x) - 4 x - 2}{x^{2} - 4}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)}{x^{2} - 4}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 2^{2}}$

Étape 6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(2 x + 1) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$(x + 1) \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$(x + 1) \frac{1}{x + 2}$

Étape 7.3

Multipliez $x + 1$ par $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{x + 1}{x + 2}$