Pré-calcul Exemples

${(\sqrt{3} - i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{3}}^{5} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$\sqrt{3^{5}} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\sqrt{243} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$\sqrt{81 (3)} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\sqrt{9^{2} \cdot 3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$9 \sqrt{3} + 5 {\sqrt{3}}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{4}{2}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{\frac{2}{1}} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3^{2} (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} + 5 \cdot 9 (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Multipliez $5$ par $9$ .

$9 \sqrt{3} + 45 (- i) + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 {\sqrt{3}}^{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{3^{3}} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{27} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{9 (3)} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.11.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 \sqrt{3^{2} \cdot 3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$9 \sqrt{3} - 45 i + 10 (3 \sqrt{3}) {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Multipliez $3$ par $10$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} {(- i)}^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} (1 i^{2}) + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} i^{2} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i + 30 \sqrt{3} \cdot - 1 + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 1$ par $30$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.19.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3^{1} {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.19.5

Évaluez l’exposant.

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 10 \cdot 3 {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $10$ par $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 {(- i)}^{3} + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- i^{3}) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Factorisez $i^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (- - i) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.26

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 (1 i) + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.27

Multipliez $i$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.28

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.29

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.30

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} i^{4} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.31

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.31.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.31.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.31.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.32

Multipliez $5$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- i)}^{5}$

Étape 2.1.33

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.34

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i^{5}$

Étape 2.1.35

Factorisez $i^{4}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - (i^{4} i)$

Étape 2.1.36

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.36.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.36.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.36.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - (1 i)$

Étape 2.1.37

Multipliez $i$ par $1$ .

$9 \sqrt{3} - 45 i - 30 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $30 \sqrt{3}$ de $9 \sqrt{3}$ .

$- 45 i - 21 \sqrt{3} + 30 i + 5 \sqrt{3} - i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 45 i$ et $30 i$ .

$- 15 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} - i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $i$ de $- 15 i$ .

$- 16 i - 21 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 21 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{3}$ .

$- 16 i - 16 \sqrt{3}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $- 16 i$ et $- 16 \sqrt{3}$ .

$- 16 \sqrt{3} - 16 i$