Pré-calcul Exemples

${(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13}}{6} \cdot i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{\sqrt{13}}{6}$ et $i$ .

${(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})}^{2}$ comme $(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$ .

$(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$

Étape 2

Développez $(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6}) + \frac{\sqrt{13} i}{6} (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} (\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{3 \cdot 6} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{6 \cdot 3} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{13} i}{6} \cdot \frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ par $\frac{\sqrt{13} i}{6}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i (\sqrt{13} i)}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{1 + 1} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i i}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} (i^{1} i)}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.7

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} (i^{1} i^{1})}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i^{1 + 1}}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i^{2}}{6 \cdot 6}$

Étape 3.1.4.10

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{\sqrt{13}}^{2} i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.5.1

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 3.1.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{\frac{2}{2}} i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13^{1} i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13 i^{2}}{36}$

Étape 3.1.5.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{13 \cdot - 1}{36}$

Étape 3.1.6

Multipliez $13$ par $- 1$ .

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{- 13}{36}$

Étape 3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{9} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18} - \frac{13}{36}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} - \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 4} - \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Étape 3.3.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{4}{36} - \frac{13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 13}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Étape 3.5

Soustrayez $13$ de $4$ .

$\frac{- 9}{36} + \frac{\sqrt{13} i}{18} + \frac{\sqrt{13} i}{18}$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9}{36} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $36$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\frac{9 (- 1)}{36} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $9$ à partir de $36$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} + \frac{2 \sqrt{13} i}{18}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $18$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{13} i$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2 (\sqrt{13} i)}{18}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$- \frac{1}{4} + \frac{2 (\sqrt{13} i)}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} + \frac{2 (\sqrt{13} i)}{2 \cdot 9}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{13} i}{9}$