Pré-calcul Exemples

${(- 1 + \sqrt{3 i})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 3 {(- 1)}^{2} \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 3 \cdot 1 \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} + 3 \cdot - 1 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {\sqrt{3 i}}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt{3 i}}^{2}$ comme $3 i$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 i}$ comme ${(3 i)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {({(3 i)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 {(3 i)}^{1} + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.5.5

Simplifiez

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 3 (3 i) + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.6

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + {\sqrt{3 i}}^{3}$

Étape 2.7

Réécrivez ${\sqrt{3 i}}^{3}$ comme $\sqrt{{(3 i)}^{3}}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{{(3 i)}^{3}}$

Étape 2.8

Appliquez la règle de produit à $3 i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{3^{3} i^{3}}$

Étape 2.9

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 i^{3}}$

Étape 2.10

Factorisez $i^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 (i^{2} \cdot i)}$

Étape 2.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 (- 1 \cdot i)}$

Étape 2.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{27 \cdot - 1 i}$

Étape 2.13

Associez les exposants.

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Étape 2.13.1

Factorisez le signe négatif.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{- (27 i)}$

Étape 2.13.2

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{- 27 i}$

Étape 2.14

Réécrivez $- 27 i$ comme ${(3 i)}^{2} \cdot (3 i)$ .

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Étape 2.14.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 27$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{- 9 (3) i}$

Étape 2.14.2

Réécrivez $- 9$ comme ${(3 i)}^{2}$ .

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot 3 i}$

Étape 2.14.3

Ajoutez des parenthèses.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + \sqrt{{(3 i)}^{2} \cdot (3 i)}$

Étape 2.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 1 + 3 \sqrt{3 i} - 9 i + 3 i \sqrt{3 i}$