Pré-calcul Exemples

${(\sqrt{5} - 2 i)}^{5}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{5}}^{5} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{5}$ comme $\sqrt{5^{5}}$ .

$\sqrt{5^{5}} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$\sqrt{3125} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $3125$ comme $25^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $625$ à partir de $3125$ .

$\sqrt{625 (5)} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$\sqrt{25^{2} \cdot 5} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$25 \sqrt{5} + 5 {\sqrt{5}}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{4}$ comme $5^{2}$ .

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Étape 2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$25 \sqrt{5} + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.5.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$25 \sqrt{5} + 5 \cdot 5^{2} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.6

Multipliez $5$ par $5^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.1

Multipliez $5$ par $5^{2}$ .

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Étape 2.1.6.1.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$25 \sqrt{5} + 5^{1} \cdot 5^{2} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 \sqrt{5} + 5^{1 + 2} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$25 \sqrt{5} + 5^{3} (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.7

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$25 \sqrt{5} + 125 (- 2 i) + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 2$ par $125$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 {\sqrt{5}}^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.9

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{5^{3}} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.10

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{125} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{25 (5)} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.11.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 \sqrt{5^{2} \cdot 5} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$25 \sqrt{5} - 250 i + 10 (5 \sqrt{5}) {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.13

Multipliez $5$ par $10$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{2} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.14

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.15

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} (4 i^{2}) + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} (4 \cdot - 1) + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.17

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i + 50 \sqrt{5} \cdot - 4 + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.18

Multipliez $- 4$ par $50$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 {\sqrt{5}}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.1.19.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.19.4.1

Annulez le facteur commun.

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{\frac{2}{2}} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19.4.2

Réécrivez l’expression.

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5^{1} {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.19.5

Évaluez l’exposant.

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 10 \cdot 5 {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.20

Multipliez $10$ par $5$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 {(- 2 i)}^{3} + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.21

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.22

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 i^{3}) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.23

Factorisez $i^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.25

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (- 8 (- i)) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.26

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 50 (8 i) + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.27

Multipliez $8$ par $50$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.28

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.29

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.30

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.30.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.30.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.31

Multipliez $16$ par $1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 5 \sqrt{5} \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.32

Multipliez $16$ par $5$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} + {(- 2 i)}^{5}$

Étape 2.1.33

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Étape 2.1.34

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 i^{5}$

Étape 2.1.35

Factorisez $i^{4}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 (i^{4} i)$

Étape 2.1.36

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.36.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Étape 2.1.36.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Étape 2.1.36.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 (1 i)$

Étape 2.1.37

Multipliez $i$ par $1$ .

$25 \sqrt{5} - 250 i - 200 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $200 \sqrt{5}$ de $25 \sqrt{5}$ .

$- 250 i - 175 \sqrt{5} + 400 i + 80 \sqrt{5} - 32 i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 250 i$ et $400 i$ .

$150 i - 175 \sqrt{5} + 80 \sqrt{5} - 32 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $32 i$ de $150 i$ .

$118 i - 175 \sqrt{5} + 80 \sqrt{5}$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 175 \sqrt{5}$ et $80 \sqrt{5}$ .

$118 i - 95 \sqrt{5}$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $118 i$ et $- 95 \sqrt{5}$ .

$- 95 \sqrt{5} + 118 i$