Pré-calcul Exemples

$\frac{\frac{x + 3}{4 x^{2} - 9}}{\frac{x^{2} + 7 x + 12}{2 x^{2} + 7 x - 15}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x + 3}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x + 3}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x + 3}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x$ et $b = 3$ .

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 3$ plus $10$

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 4)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 3) (x + 4)}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x + 4}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $2 x - 3$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x - 3$ à partir de $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{1}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x + 4}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(2 x - 3) (2 x + 3)} \cdot \frac{(2 x - 3) (x + 5)}{x + 4}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x + 3} \cdot \frac{x + 5}{x + 4}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{2 x + 3}$ par $\frac{x + 5}{x + 4}$ .

$\frac{x + 5}{(2 x + 3) (x + 4)}$