Pré-calcul Exemples

$\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i}$ par le conjugué de $5 - 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{\sqrt{7} + 4 i}{5 - 3 i} \cdot \frac{5 + 3 i}{5 + 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(\sqrt{7} + 4 i) (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(\sqrt{7} + 4 i) (5 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} (5 + 3 i) + 4 i (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 5 + \sqrt{7} (3 i) + 4 i (5 + 3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{7} \cdot 5 + \sqrt{7} (3 i) + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{7}$ .

$\frac{5 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} (3 i) + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{7}$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \cdot \sqrt{7} i + 4 i \cdot 5 + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 4 i (3 i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.4

Multipliez $4 i (3 i)$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 (i^{1} i)}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 (i^{1} i^{1})}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i^{1 + 1}}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 i^{2}}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i + 12 \cdot - 1}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.2.6

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i - 12}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.2.3

Remettez dans l’ordre $5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i$ et $- 12$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{(5 - 3 i) (5 + 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(5 - 3 i) (5 + 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 (5 + 3 i) - 3 i (5 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 \cdot 5 + 5 (3 i) - 3 i (5 + 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{5 \cdot 5 + 5 (3 i) - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 5 (3 i) - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 3 i \cdot 5 - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 3 i (3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 15 i - 15 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $15 i$ de $15 i$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $25$ et $0$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{25 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez $25$ et $9$ .

$\frac{- 12 + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Étape 3

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$\frac{- 1 (12) + 5 \sqrt{7} + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Étape 4

Factorisez $- 1$ à partir de $5 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 1 (12) - (- 5 \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Étape 5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (12) - (- 5 \sqrt{7})$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) + 3 \sqrt{7} i + 20 i}{34}$

Étape 6

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sqrt{7} i$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) - (- 3 \sqrt{7} i) + 20 i}{34}$

Étape 7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (12 - 5 \sqrt{7}) - (- 3 \sqrt{7} i)$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) + 20 i}{34}$

Étape 8

Factorisez $- 1$ à partir de $20 i$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) - (- 20 i)}{34}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i) - (- 20 i)$ .

$\frac{- 1 (12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i)}{34}$

Étape 10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i}{34}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i - 20 i}{34}$ en deux fractions.

$- (\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 12

Divisez la fraction $\frac{12 - 5 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} i}{34}$ en deux fractions.

$- (\frac{12 - 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 13

Divisez la fraction $\frac{12 - 5 \sqrt{7}}{34}$ en deux fractions.

$- (\frac{12}{34} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 14

Annulez le facteur commun à $12$ et $34$ .

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- (\frac{2 (6)}{34} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$- (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 14.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 14.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{6}{17} + \frac{- 5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} + \frac{- 3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 20 i}{34})$

Étape 17

Annulez le facteur commun à $- 20$ et $34$ .

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Étape 17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 20 i$ .

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{34})$

Étape 17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $34$ .

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{2 (17)})$

Étape 17.2.2

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{2 (- 10 i)}{2 \cdot 17})$

Étape 17.2.3

Réécrivez l’expression.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} + \frac{- 10 i}{17})$

Étape 18

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{6}{17} - \frac{5 \sqrt{7}}{34} - \frac{3 \sqrt{7} i}{34} - \frac{10 i}{17})$