Pré-calcul Exemples

$\sqrt{\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 11 x + 28 = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} - 11 x + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $- 11$ .

$- 7, - 4$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 7) (x - 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 7) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 7, 4$

Étape 2.7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.10.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.10.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 7, 4$

$x = 1, - 1$

Étape 2.12

Consolidez les solutions.

$x = 7, 4, 1, - 1$

Étape 2.13

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ .

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Étape 2.13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 2.13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.13.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 2.13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 2.13.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 2.13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 2.13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 2.13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 2.13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 2.14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 4$

$4 < x < 7$

$x > 7$

Étape 2.15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 2.15.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 28}{{(- 4)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 2.15.1.3

Le côté gauche $5.8\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.15.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(0)}^{2} - 11 \cdot 0 + 28}{{(0)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 2.15.2.3

Le côté gauche $- 28$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.15.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} - 11 \cdot 2 + 28}{{(2)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 2.15.3.3

Le côté gauche $3.\overline{3}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $4 < x < 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.15.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 11 \cdot 6 + 28}{{(6)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 2.15.4.3

Le côté gauche $- 0.0\overline{571428}$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.15.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.15.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 2.15.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(10)}^{2} - 11 \cdot 10 + 28}{{(10)}^{2} - 1} \geq 0$

Étape 2.15.5.3

Le côté gauche $0.\overline{18}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.15.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

$x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Vrai

$4 < x < 7$ Faux

$x > 7$ Vrai

Étape 2.16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 1$ ou $1 < x \leq 4$ ou $x \geq 7$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 11 x + 28}{x^{2} - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 4.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1) \cup (1, 4] \cup [7, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - 1, 1 < x \leq 4, x \geq 7}$

Étape 6