Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (8) + \log_{8} (x + 2) - \log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{8} (x + 2)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 2 > 0$

Étape 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x > - 2$

Étape 3

Définissez l’argument dans $\log_{4} (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 > 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 4.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 4.2.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 4.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Étape 4.3

Définissez le $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 4.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 4.5

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - 2$

Étape 4.6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 4.6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 4.6.2.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 4.6.2.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 4.6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 4.6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 4.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 4.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{4}$

Étape 4.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 4.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $x^{4} + 4 x^{2} + 4$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 2}$

Étape 6