Pré-calcul Exemples

$\frac{4 x^{3} + 5^{2} + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Étape 1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Factorisez la fraction.

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Étape 1.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 25 + 7 x - 1}{x^{2} x + 1}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{x^{2} x + 1}$

Étape 1.1.3

Factorisez $4 x^{3} + 7 x + 24$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 24, \pm 6, \pm 12, \pm 2, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 8, \pm 4$

Étape 1.1.3.3

Remplacez $- 1.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.3.1

Remplacez $- 1.5$ dans le polynôme.

$4 {(- 1.5)}^{3} + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Étape 1.1.3.3.2

Élevez $- 1.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 3.375 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Étape 1.1.3.3.3

Multipliez $4$ par $- 3.375$ .

$- 13.5 + 7 \cdot - 1.5 + 24$

Étape 1.1.3.3.4

Multipliez $7$ par $- 1.5$ .

$- 13.5 - 10.5 + 24$

Étape 1.1.3.3.5

Soustrayez $10.5$ de $- 13.5$ .

$- 24 + 24$

Étape 1.1.3.3.6

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$0$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 1.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} + 7 x + 24}{2 x + 3}$

Étape 1.1.3.5

Divisez $4 x^{3} + 7 x + 24$ par $2 x + 3$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$3$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$24$

Étape 1.1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$

Étape 1.1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			+	$4 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Étape 1.1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} + 6 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Étape 1.1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Étape 1.1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 1.1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 1.1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x^{2} - 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$

Étape 1.1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$

Étape 1.1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Étape 1.1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$

Étape 1.1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							+	$16 x$	+	$24$

Étape 1.1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x + 24$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$

Étape 1.1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$8$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$7 x$	+	$24$
			-	$4 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$16 x$	+	$24$
							-	$16 x$	-	$24$
										$0$

Étape 1.1.3.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 3 x + 8$

Étape 1.1.3.6

Écrivez $4 x^{3} + 7 x + 24$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x + 1}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.1.4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2} x^{1} + 1}$

Étape 1.1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{2 + 1} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1}$

Étape 1.1.5

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{x^{3} + 1^{3}}$

Étape 1.1.6

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 1.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}$

Étape 1.1.7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Étape 1.2

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Étape 1.3

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur est du deuxième degré, les termes $2$ sont requis dans le numérateur. Le nombre de termes requis dans le numérateur est toujours égal au degré du facteur dans le dénominateur.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.4

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - x + 1$ .

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.5.2.2

Divisez $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ par $1$ .

$(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8) = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.6

Développez $(2 x + 3) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot (2 x \cdot x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.7.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot (2 (x^{2} x)) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot (2 x^{2 + 1}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \cdot (2 x^{3}) + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (- 3 x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x \cdot x) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} + 2 \cdot (- 3 x^{2}) + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x \cdot 8 + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.7

Multipliez $8$ par $2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 3 (2 x^{2}) + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.9

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 3 \cdot 8 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.1.10

Multipliez $3$ par $8$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.7.2.1

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 6 x^{2} + 16 x + 6 x^{2} - 9 x + 24$ .

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Étape 1.7.2.1.1

Additionnez $- 6 x^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 16 x + 0 - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2.1.2

Additionnez $4 x^{3} + 16 x$ et $0$ .

$4 x^{3} + 16 x - 9 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.7.2.2

Soustrayez $9 x$ de $16 x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{(A) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.8.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = \frac{A (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x + 1} + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.1.2

Divisez $(A) (x^{2} - x + 1)$ par $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = (A) (x^{2} - x + 1) + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + A (- x) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3

Simplifiez

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Étape 1.8.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.3.2

Multipliez $A$ par $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.4

Annulez le facteur commun de $x^{2} - x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + \frac{(B x + C) (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1}$

Étape 1.8.4.2

Divisez $(B x + C) (x + 1)$ par $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + (B x + C) (x + 1)$

Étape 1.8.5

Développez $(B x + C) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x (x + 1) + C (x + 1)$

Étape 1.8.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C (x + 1)$

Étape 1.8.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x \cdot x + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Étape 1.8.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.8.6.1.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Étape 1.8.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Étape 1.8.6.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C \cdot 1$

Étape 1.8.6.3

Multipliez $C$ par $1$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - A x + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Étape 1.9

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Déplacez $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Étape 1.9.2

Remettez dans l’ordre $B$ et $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Étape 1.9.3

Remettez dans l’ordre $B$ et $x$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + A + B x^{2} + B x + C x + C$

Étape 1.9.4

Déplacez $A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} - x A + B x^{2} + B x + C x + A + C$

Étape 1.9.5

Déplacez $- x A$ .

$4 x^{3} + 7 x + 24 = A x^{2} + B x^{2} - x A + B x + C x + A + C$

Étape 2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x^{2}$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$7 = - 1 A + B + C$

Étape 2.3

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$24 = A + C$

Étape 2.4

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$0 = A + B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Étape 3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Résolvez $A$ dans $0 = A + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Réécrivez l’équation comme $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Étape 3.1.2

Soustrayez $B$ des deux côtés de l’équation.

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

$A = - B$

$7 = - 1 A + B + C$

$24 = A + C$

Étape 3.2

Remplacez toutes les occurrences de $A$ par $- B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $7 = - 1 A + B + C$ par $- B$ .

$7 = - 1 (- B) + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- 1 (- B) + B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $- 1 (- B)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$7 = 1 B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez $B$ par $1$ .

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = B + B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Étape 3.2.2.1.2

Additionnez $B$ et $B$ .

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = A + C$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $A$ dans $24 = A + C$ par $- B$ .

$24 = (- B) + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.4.1

Supprimez les parenthèses.

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$24 = - B + C$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Étape 3.3

Résolvez $C$ dans $24 = - B + C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $- B + C = 24$ .

$- B + C = 24$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Étape 3.3.2

Ajoutez $B$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

$C = 24 + B$

$7 = 2 B + C$

$A = - B$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $C$ par $24 + B$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $C$ dans $7 = 2 B + C$ par $24 + B$ .

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.4.2

Simplifiez $7 = 2 B + 24 + B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 2 B + 24 + B$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Additionnez $2 B$ et $B$ .

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$7 = 3 B + 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5

Résolvez $B$ dans $7 = 3 B + 24$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 B + 24 = 7$ .

$3 B + 24 = 7$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$3 B = 7 - 24$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5.2.2

Soustrayez $24$ de $7$ .

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$3 B = - 17$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5.3

Divisez chaque terme dans $3 B = - 17$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 B = - 17$ par $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 B}{3} = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5.3.2.1.2

Divisez $B$ par $1$ .

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = \frac{- 17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

$B = - \frac{17}{3}$

$C = 24 + B$

$A = - B$

Étape 3.6

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $- \frac{17}{3}$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $C = 24 + B$ par $- \frac{17}{3}$ .

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.2

Simplifiez $C = 24 - \frac{17}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = 24 - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1

Simplifiez $24 - \frac{17}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1.1

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$C = 24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.2.2.1.2

Associez $24$ et $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$C = \frac{24 \cdot 3 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.2.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.2.1.4.1

Multipliez $24$ par $3$ .

$C = \frac{72 - 17}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.2.2.1.4.2

Soustrayez $17$ de $72$ .

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = - B$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $A = - B$ par $- \frac{17}{3}$ .

$A = - (- \frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Étape 3.6.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1

Multipliez $- (- \frac{17}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A = 1 (\frac{17}{3})$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Étape 3.6.4.1.2

Multipliez $\frac{17}{3}$ par $1$ .

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

$A = \frac{17}{3}$

$C = \frac{55}{3}$

$B = - \frac{17}{3}$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$A = \frac{17}{3}, C = \frac{55}{3}, B = - \frac{17}{3}$

Étape 4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ , $B$ et $C$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17}{3 x} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Associez $x$ et $\frac{17}{3}$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{x \cdot 17}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$

Étape 5.2

Déplacez $17$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{17}{3}}{x + 1} + \frac{- \frac{17 x}{3} + \frac{55}{3}}{x^{2} - x + 1}$