Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} > \frac{8}{15}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{8}{15}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{1}{2 b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{2 b + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{b + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{1}{2 b + 1} \cdot \frac{b + 1}{b + 1} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 b + 1) (b + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 b + 1}$ par $\frac{b + 1}{b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{1}{b + 1} \cdot \frac{2 b + 1}{2 b + 1} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{b + 1}$ par $\frac{2 b + 1}{2 b + 1}$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(b + 1) (2 b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(b + 1) (2 b + 1)$ .

$\frac{b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} + \frac{2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b + 1 + 2 b + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.5

Additionnez $b$ et $2 b$ .

$\frac{3 b + 1 + 1}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.7

Pour écrire $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} > 0$

Étape 2.8

Pour écrire $- \frac{8}{15}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)} \cdot \frac{15}{15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.9.1

Multipliez $\frac{3 b + 2}{(2 b + 1) (b + 1)}$ par $\frac{15}{15}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8}{15} \cdot \frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{8}{15}$ par $\frac{(2 b + 1) (b + 1)}{(2 b + 1) (b + 1)}$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Étape 2.9.3

Réorganisez les facteurs de $(2 b + 1) (b + 1) \cdot 15$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 ((2 b + 1) (b + 1))} > 0$

Étape 2.9.4

Réorganisez les facteurs de $15 ((2 b + 1) (b + 1))$ .

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15}{15 (2 b + 1) (b + 1)} - \frac{8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 b + 2) \cdot 15 - 8 ((2 b + 1) (b + 1))}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 b \cdot 15 + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.2

Multipliez $15$ par $3$ .

$\frac{45 b + 2 \cdot 15 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{45 b + 30 - 8 (2 b + 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 b + 30 + (- 8 (2 b) - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.5

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8 \cdot 1) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.6

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{45 b + 30 + (- 16 b - 8) (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.7

Développez $(- 16 b - 8) (b + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 b + 30 - 16 b (b + 1) - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 (b + 1)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{45 b + 30 - 16 b \cdot b - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.11.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.8.1.1

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.8.1.1.1

Déplacez $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 (b \cdot b) - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.8.1.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b \cdot 1 - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.8.1.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8 \cdot 1}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.8.1.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 16 b - 8 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.8.2

Soustrayez $8 b$ de $- 16 b$ .

$\frac{45 b + 30 - 16 b^{2} - 24 b - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.9

Soustrayez $24 b$ de $45 b$ .

$\frac{21 b + 30 - 16 b^{2} - 8}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.10

Soustrayez $8$ de $30$ .

$\frac{21 b - 16 b^{2} + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 16 b^{2} + 21 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.12

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.11.12.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 16 \cdot 22 = - 352$ et dont la somme est $b = 21$ .

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Étape 2.11.12.1.1

Factorisez $21$ à partir de $21 b$ .

$\frac{- 16 b^{2} + 21 (b) + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.12.1.2

Réécrivez $21$ comme $- 11$ plus $32$

$\frac{- 16 b^{2} + (- 11 + 32) b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 b^{2} - 11 b + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.12.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.11.12.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- 16 b^{2} - 11 b) + 32 b + 22}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.12.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{b (- 16 b - 11) - 2 (- 16 b - 11)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.11.12.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 16 b - 11$ .

$\frac{(- 16 b - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 b$ .

$\frac{(- (16 b) - 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- 11$ comme $- 1 (11)$ .

$\frac{(- (16 b) - 1 (11)) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (16 b) - 1 (11)$ .

$\frac{- (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.15

Réécrivez $- (16 b + 11)$ comme $- 1 (16 b + 11)$ .

$\frac{- 1 (16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)} > 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$16 b + 11 = 0$

$b - 2 = 0$

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$16 b = - 11$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $16 b = - 11$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $16 b = - 11$ par $16$ .

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 b}{16} = \frac{- 11}{16}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 11}{16}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = - \frac{11}{16}$

Étape 6

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$b = 2$

Étape 7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 b = - 1$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 b = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 b = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = - \frac{1}{2}$

Étape 9

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$b = - 1$

Étape 10

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$b = - \frac{11}{16}$

$b = 2$

$b = - \frac{1}{2}$

$b = - 1$

Étape 11

Consolidez les solutions.

$b = - \frac{11}{16}, 2, - \frac{1}{2}, - 1$

Étape 12

Déterminez le domaine de $- \frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ .

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Étape 12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(16 b + 11) (b - 2)}{15 (2 b + 1) (b + 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$

Étape 12.2

Résolvez $b$ .

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Étape 12.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 b + 1 = 0$

$b + 1 = 0$

Étape 12.2.2

Définissez $2 b + 1$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 12.2.2.1

Définissez $2 b + 1$ égal à $0$ .

$2 b + 1 = 0$

Étape 12.2.2.2

Résolvez $2 b + 1 = 0$ pour $b$ .

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Étape 12.2.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 b = - 1$

Étape 12.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 b = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 b = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 b}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $b$ par $1$ .

$b = \frac{- 1}{2}$

Étape 12.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$b = - \frac{1}{2}$

Étape 12.2.3

Définissez $b + 1$ égal à $0$ et résolvez $b$ .

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Étape 12.2.3.1

Définissez $b + 1$ égal à $0$ .

$b + 1 = 0$

Étape 12.2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$b = - 1$

Étape 12.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 (2 b + 1) (b + 1) = 0$ vraie.

$b = - \frac{1}{2}, - 1$

Étape 12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $b$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Étape 13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$b < - 1$

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < b < 2$

$b > 2$

Étape 14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $b < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $b < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$b = - 4$

Étape 14.1.2

Remplacez $b$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2 (- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) + 1} > \frac{8}{15}$

Étape 14.1.3

Le côté gauche $- 0.\overline{476190}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.5\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < b < - \frac{11}{16}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$b = - 0.84$

Étape 14.2.2

Remplacez $b$ par $- 0.84$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2 (- 0.84) + 1} + \frac{1}{(- 0.84) + 1} > \frac{8}{15}$

Étape 14.2.3

Le côté gauche $4.77941176$ est supérieur au côté droit $0.5\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$b = - 0.59$

Étape 14.3.2

Remplacez $b$ par $- 0.59$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2 (- 0.59) + 1} + \frac{1}{(- 0.59) + 1} > \frac{8}{15}$

Étape 14.3.3

Le côté gauche $- 3.\overline{11653}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.5\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < b < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{2} < b < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$b = 0$

Étape 14.4.2

Remplacez $b$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2 (0) + 1} + \frac{1}{(0) + 1} > \frac{8}{15}$

Étape 14.4.3

Le côté gauche $2$ est supérieur au côté droit $0.5\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 14.5

Testez une valeur sur l’intervalle $b > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 14.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $b > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$b = 4$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2 (4) + 1} + \frac{1}{(4) + 1} > \frac{8}{15}$

Étape 14.5.3

Le côté gauche $0.3\overline{1}$ n’est pas supérieur au côté droit $0.5\overline{3}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 14.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$b < - 1$ Faux

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Vrai

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Vrai

$b > 2$ Faux

$b < - 1$ Faux

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ Vrai

$- \frac{11}{16} < b < - \frac{1}{2}$ Faux

$- \frac{1}{2} < b < 2$ Vrai

$b > 2$ Faux

Étape 15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 < b < - \frac{11}{16}$ ou $- \frac{1}{2} < b < 2$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 1 < b < - \frac{11}{16} or - \frac{1}{2} < b < 2$

Notation d’intervalle :

$(- 1, - \frac{11}{16}) \cup (- \frac{1}{2}, 2)$

Étape 17