Pré-calcul Exemples

$x (x - 1) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot - 1) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Étape 1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 1) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Étape 1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 1 \cdot x) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x^{2} - x) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

Étape 2

Développez $(x^{2} - x) (x - 1 - i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- i) - x \cdot x - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- i) - x \cdot x - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- i) - x \cdot x - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- i) - x \cdot x - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x^{2} (- i) - x \cdot x - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - x \cdot x - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - x^{2} - x \cdot - 1 - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.5

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - x^{2} + 1 x - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - x^{2} + x - x (- i)) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.6

Multipliez $- x (- i)$ .

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Étape 3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - x^{2} + x + 1 x i) (x - 1 + i)$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{3} - x^{2} + x^{2} (- i) - x^{2} + x + x i) (x - 1 + i)$

Étape 3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x^{2} (- i) + x + x i) (x - 1 + i)$

Étape 4

Développez $(x^{3} - 2 x^{2} + x^{2} (- i) + x + x i) (x - 1 + i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i + x i x + x i \cdot - 1 + x i i$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i + x i x + x i \cdot - 1 + x i i$ .

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Étape 5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x i$ et $x i \cdot - 1$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + i x + x i x - i x + x i i$

Étape 5.1.2

Soustrayez $i x$ de $i x$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + 0 + x i i$

Étape 5.1.3

Additionnez $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x$ et $0$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1 - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{2} (- i) x + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.6.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x \cdot x^{2} (- i) + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{1} x^{2} (- i) + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{1 + 2} (- i) + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} (- i) \cdot - 1 + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.7

Multipliez $x^{2} (- i) \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} (1 i) + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} (- i) i + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.8

Multipliez $x^{2} (- i) i$ .

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Étape 5.2.8.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} (- (i^{1} i)) + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.8.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} (- (i^{1} i^{1})) + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} (- i^{1 + 1}) + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} (- i^{2}) + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} (- - 1) + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} \cdot 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.11

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.12

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + x i x + x i i$

Étape 5.2.13

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + x i x + x i i$

Étape 5.2.14

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x i x + x i i$

Étape 5.2.15

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.15.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x \cdot x i + x i i$

Étape 5.2.15.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i + x i i$

Étape 5.2.16

Multipliez $x i i$ .

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Étape 5.2.16.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i + x (i^{1} i)$

Étape 5.2.16.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i + x (i^{1} i^{1})$

Étape 5.2.16.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i + x i^{1 + 1}$

Étape 5.2.16.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i + x i^{2}$

Étape 5.2.17

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i + x \cdot - 1$

Étape 5.2.18

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - 1 \cdot x$

Étape 5.2.19

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.3.1

Associez les termes opposés dans $x^{4} - x^{3} + x^{3} i - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{3} (- i) + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - x$ .

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Étape 5.3.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x^{3} i$ et $x^{3} (- i)$ .

$x^{4} - x^{3} + i x^{3} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i - i x^{3} + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.1.2

Soustrayez $i x^{3}$ de $i x^{3}$ .

$x^{4} - x^{3} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + 0 + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.1.3

Additionnez $x^{4} - x^{3} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i$ et $0$ .

$x^{4} - x^{3} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{2} i + x^{2} + x^{2} - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.3

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{2} i + x^{2} - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x^{2} i + x^{2} i - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.5

Additionnez $- 2 x^{2} i$ et $x^{2} i$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - x^{2} i - x + x^{2} i - x$

Étape 5.3.6

Associez les termes opposés dans $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - x^{2} i - x + x^{2} i - x$ .

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Étape 5.3.6.1

Additionnez $- x^{2} i$ et $x^{2} i$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - x + 0 - x$

Étape 5.3.6.2

Additionnez $x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - x$ et $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - x - x$

Étape 5.3.7

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$