Pré-calcul Exemples

$\log (8 - x) > 2 \log (x + 4)$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (8 - x) = 2 \log (x + 4)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez $2 \log (x + 4)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (8 - x) = \log ({(x + 4)}^{2})$

Étape 2.2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$8 - x = {(x + 4)}^{2}$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$8 - x = 0 + 0 + {(x + 4)}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$8 - x = (x + 4) (x + 4)$

Étape 2.3.1.3

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 - x = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Étape 2.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Étape 2.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 - x = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$8 - x = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$8 - x = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 2.3.1.4.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 - x = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Étape 2.3.1.4.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$8 - x = x^{2} + 8 x + 16$

Étape 2.3.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 8 x + 16 = 8 - x$

Étape 2.3.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 8 x + 16 + x = 8$

Étape 2.3.3.2

Additionnez $8 x$ et $x$ .

$x^{2} + 9 x + 16 = 8$

Étape 2.3.4

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 9 x + 16 - 8 = 0$

Étape 2.3.5

Soustrayez $8$ de $16$ .

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

Étape 2.3.6

Factorisez $x^{2} + 9 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $9$ .

$1, 8$

Étape 2.3.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x + 8) = 0$

Étape 2.3.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

Étape 2.3.8

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.8.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3.9

Définissez $x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.9.1

Définissez $x + 8$ égal à $0$ .

$x + 8 = 0$

Étape 2.3.9.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 2.3.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 8) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 8$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log (\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$8 - x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 8$

Étape 3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x = 8$

Étape 3.2.4

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.5

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.2.6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 8$

$x = - 4$

Étape 3.2.7

Consolidez les solutions.

$x = 8, - 4$

Étape 3.2.8

Déterminez le domaine de $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

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Étape 3.2.8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 3.2.8.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.8.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.2.8.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.2.8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Étape 3.2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < 8$

$x > 8$

Étape 3.2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 3.2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 3.2.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{8 - (- 6)}{{((- 6) + 4)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.1.3

Le côté gauche $3.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 3.2.10.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{8 - (0)}{{((0) + 4)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.2.3

Le côté gauche $0.5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 3.2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 3.2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 3.2.10.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{8 - (10)}{{((10) + 4)}^{2}} > 0$

Étape 3.2.10.3.3

Le côté gauche $- 0.01020408$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 3.2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < 8$ Vrai

$x > 8$ Faux

Étape 3.2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $- 4 < x < 8$

Étape 3.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 - x}{{(x + 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 8)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < - 1$

$- 1 < x < 8$

$x > 8$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (8 - (- 10)) > 2 \log ((- 10) + 4)$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (8 - (- 6)) > 2 \log ((- 6) + 4)$

Étape 5.2.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.2.3.2

The right side has no solution, which means that the given statement is false.

False

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (8 - (- 2)) > 2 \log ((- 2) + 4)$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0.60205999$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (8 - (0)) > 2 \log ((0) + 4)$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $0.90308998$ n’est pas supérieur au côté droit $1.20411998$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 5.5.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\log (8 - (10)) > 2 \log ((10) + 4)$

Étape 5.5.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.5.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Faux

$x < - 8$ Faux

$- 8 < x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 1$ Vrai

$- 1 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 < x < - 1$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- 4 < x < - 1$

Notation d’intervalle :

$(- 4, - 1)$

Étape 8