Pré-calcul Exemples

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $3 \log_{x} (3) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54)$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Simplifiez $3 \log_{x} (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{x} (3^{3}) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\log_{x} (27) + 4 \log_{x} (2) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 2.1.1.3

Simplifiez $4 \log_{x} (2)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\log_{x} (27) + \log_{x} (2^{4}) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\log_{x} (27) + \log_{x} (16) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{x} (27 \cdot 16) - \log_{x} (54) = 3$

Étape 2.1.3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{54}) = 3$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $27$ et $54$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $27$ à partir de $27 \cdot 16$ .

$\log_{x} (\frac{27 (16)}{54}) = 3$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $27$ à partir de $54$ .

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{x} (\frac{27 \cdot 16}{27 \cdot 2}) = 3$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{x} (\frac{16}{2}) = 3$

Étape 2.1.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2}) = 3$

Étape 2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) = 3$

Étape 2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{x} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) = 3$

Étape 2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{x} (\frac{8}{1}) = 3$

Étape 2.1.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\log_{x} (8) = 3$

Étape 3

Réécrivez $\log_{x} (8) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$x^{3} = 8$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} - 8 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x^{3} - 2^{3} = 0$

Étape 4.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}) = 0$

Étape 4.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 4.5

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 4.5.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez

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Étape 4.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 4.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 4.5.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 4.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$