Pré-calcul Exemples

$2 \tan (x) \cdot \cos (x) - \tan (x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 (\tan (x) \cdot \cos (x)) - \tan (x) = 0$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $2 \tan (x) \cdot \cos (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - \tan (x) = 0$

Étape 1.1.1.3

Annulez les facteurs communs.

$2 \sin (x) - \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x) (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cos (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) - \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) + \cos (x) \cdot - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

Étape 6.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) - \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

Étape 7

Multipliez $\cos (x)$ par $0$ .

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Étape 8

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 9

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 9.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 9.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 11

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 11.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 11.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 11.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 11.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Définissez $2 \cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 \cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = 1$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 12.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 12.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 12.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 12.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 12.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 12.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 12.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 12.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 12.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$