Pré-calcul Exemples

$\frac{x}{2 x - 6} - \frac{3}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 6$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x}{2 (x) - 6} - \frac{3}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{x}{2 x + 2 \cdot - 3} - \frac{3}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{x^{2} - 6 x + 3^{2}} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 2}{3 x - 9}$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 9$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 2}{3 (x) - 9}$

Étape 1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 2}{3 x + 3 \cdot - 3}$

Étape 1.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 3$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 2}{3 (x - 3)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 (x - 3), {(x - 3)}^{2}, 3 (x - 3)$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 2.6

Le plus petit multiple commun de $2, 1, 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 3$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 2.8

Le facteur pour $x - 3$ est $x - 3$ lui-même.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Les facteurs pour $x - 3$ sont $(x - 3) \cdot (x - 3)$ , qui correspond à $x - 3$ multiplié par lui-même $2$ fois.

$(x - 3) = (x - 3) \cdot (x - 3)$

$(x - 3)$ se produit $2$ fois.

Étape 2.10

Le facteur pour $x - 3$ est $x - 3$ lui-même.

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $x - 3, {(x - 3)}^{2}, x - 3$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(x - 3)}^{2}$

Étape 2.12

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$6 {(x - 3)}^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 2}{3 (x - 3)}$ par $6 {(x - 3)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{x - 2}{3 (x - 3)}$ par $6 {(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{x}{2 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2}) - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 \frac{x}{2 (x - 3)} {(x - 3)}^{2} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{x}{2 (x - 3)} {(x - 3)}^{2} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{x}{2 (x - 3)} {(x - 3)}^{2} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{x}{x - 3} {(x - 3)}^{2} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{x}{x - 3}$ .

$\frac{3 x}{x - 3} {(x - 3)}^{2} - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{2}$ .

$\frac{3 x}{x - 3} ((x - 3) (x - 3)) - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{x - 3} ((x - 3) (x - 3)) - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 x (x - 3) - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.6.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$3 x^{2} - 9 x - \frac{3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.8

Annulez le facteur commun de ${(x - 3)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ dans le numérateur.

$3 x^{2} - 9 x + \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}} (6 {(x - 3)}^{2}) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.8.2

Factorisez ${(x - 3)}^{2}$ à partir de $6 {(x - 3)}^{2}$ .

$3 x^{2} - 9 x + \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}} ({(x - 3)}^{2} \cdot 6) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} - 9 x + \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}} ({(x - 3)}^{2} \cdot 6) = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} - 9 x - 3 \cdot 6 = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = \frac{x - 2}{3 (x - 3)} (6 {(x - 3)}^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 6 \frac{x - 2}{3 (x - 3)} {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 3 (2) \frac{x - 2}{3 (x - 3)} {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 3 \cdot 2 \frac{x - 2}{3 (x - 3)} {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 \frac{x - 2}{x - 3} {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.3.1.3

Associez $2$ et $\frac{x - 2}{x - 3}$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = \frac{2 (x - 2)}{x - 3} {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Factorisez $x - 3$ à partir de ${(x - 3)}^{2}$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = \frac{2 (x - 2)}{x - 3} ((x - 3) (x - 3))$

Étape 3.3.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = \frac{2 (x - 2)}{x - 3} ((x - 3) (x - 3))$

Étape 3.3.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 (x - 2) (x - 3)$

Étape 3.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = (2 x + 2 \cdot - 2) (x - 3)$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = (2 x - 4) (x - 3)$

Étape 3.3.2

Développez $(2 x - 4) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x (x - 3) - 4 (x - 3)$

Étape 3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 4 (x - 3)$

Étape 3.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3$

Étape 3.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x^{2} - 6 x - 4 x - 4 \cdot - 3$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x^{2} - 6 x - 4 x + 12$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $4 x$ de $- 6 x$ .

$3 x^{2} - 9 x - 18 = 2 x^{2} - 10 x + 12$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 9 x - 18 - 2 x^{2} = - 10 x + 12$

Étape 4.1.2

Ajoutez $10 x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 9 x - 18 - 2 x^{2} + 10 x = 12$

Étape 4.1.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 18 + 10 x = 12$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 9 x$ et $10 x$ .

$x^{2} + x - 18 = 12$

Étape 4.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 18 - 12 = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $12$ de $- 18$ .

$x^{2} + x - 30 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $x^{2} + x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $1$ .

$- 5, 6$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 5) (x + 6) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 4.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.7

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 4.7.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 5, - 6$