Pré-calcul Exemples

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} < 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} e^{x} - 3 e^{x} = 0$

Étape 2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 3 e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- 3 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 3$ .

$e^{x} (x^{2} - 3) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} e^{- 4} - 3 e^{- 4} < 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $0.2381033$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} e^{0} - 3 e^{0} < 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 3$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \sqrt{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} e^{4} - 3 e^{4} < 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $709.77595043$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \sqrt{3}$ Faux

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Vrai

$x > \sqrt{3}$ Faux

$x < - \sqrt{3}$ Faux

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ Vrai

$x > \sqrt{3}$ Faux

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$- \sqrt{3} < x < \sqrt{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Étape 11