Pré-calcul Exemples

$\log_{2} (3 x - 7) < 3$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{2} (3 x - 7) = 3$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log_{2} (3 x - 7) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = 3 x - 7$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme $3 x - 7 = 2^{3}$ .

$3 x - 7 = 2^{3}$

Étape 2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$3 x - 7 = 8$

Étape 2.2.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 8 + 7$

Étape 2.2.3.2

Additionnez $8$ et $7$ .

$3 x = 15$

Étape 2.2.4

Divisez chaque terme dans $3 x = 15$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 15$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{15}{3}$

Étape 2.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{15}{3}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.4.3.1

Divisez $15$ par $3$ .

$x = 5$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{2} (3 x - 7) - 3$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{2} (3 x - 7)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$3 x - 7 > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’inégalité.

$3 x > 7$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x > 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x > 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{7}{3}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} > \frac{7}{3}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{7}{3}$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(\frac{7}{3}, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{7}{3}$

$\frac{7}{3} < x < 5$

$x > 5$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{7}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (3 (0) - 7) < 3$

Étape 5.1.3

Déterminez si l’inégalité est vraie.

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Étape 5.1.3.1

L’équation ne peut pas être résolue car elle est indéfinie.

$Indéfini$

Étape 5.1.3.2

Le côté gauche n’a pas de solution, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7}{3} < x < 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7}{3} < x < 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (3 (4) - 7) < 3$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $2.32192809$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{2} (3 (8) - 7) < 3$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $4.08746284$ n’est pas inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 5.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{7}{3}$ Faux

$\frac{7}{3} < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

$x < \frac{7}{3}$ Faux

$\frac{7}{3} < x < 5$ Vrai

$x > 5$ Faux

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{7}{3} < x < 5$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$\frac{7}{3} < x < 5$

Notation d’intervalle :

$(\frac{7}{3}, 5)$

Étape 8