Pré-calcul Exemples

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)} \cdot \frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sin (t) (\cos (t) + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\cos (t) - 1}{\sin (t)}$ par $\frac{\cos (t) + 1}{\cos (t) + 1}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{\sin (t)}{\sin (t)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sin (t)}{\cos (t) + 1}$ par $\frac{\sin (t)}{\sin (t)}$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{(\cos (t) + 1) \sin (t)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(\cos (t) + 1) \sin (t)$ .

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Développez $(\cos (t) - 1) (\cos (t) + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (t) (\cos (t) + 1) - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 (\cos (t) + 1) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $\cos (t) \cos (t) + \cos (t) \cdot 1 - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (t) \cdot 1$ et $- 1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 1 \cos (t) - 1 \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1 \cos (t)$ de $1 \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) + 0 - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.2.3

Additionnez $\cos (t) \cos (t)$ et $0$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Multipliez $\cos (t) \cos (t)$ .

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Étape 5.3.1.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.3.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.3.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) - 1 + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.4

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (t)$ et $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (t)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.8

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (t))$ comme $- (1 - \cos^{2} (t))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (t)) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.9

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.10

Multipliez $\sin (t) \sin (t)$ .

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Étape 5.10.1

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.10.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sin^{2} (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (t) + \sin^{2} (t)}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 5.11

Additionnez $- \sin^{2} (t)$ et $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{0}{\sin (t) (\cos (t) + 1)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$\frac{0}{\cos (t) + 1} \csc (t)$

Étape 8

Divisez $0$ par $\cos (t) + 1$ .

$0 \csc (t)$

Étape 9

Multipliez $0$ par $\csc (t)$ .

$0$