Pré-calcul Exemples

$\frac{3}{x^{2} + x - 2} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{x^{2} - x - 6}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{(x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{(x - 1) (x + 2)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{5}{(x - 3) (x + 2)}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 3) (x + 2) (x - 1)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 2) (x - 1)$ .

$\frac{3 (x - 3)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)} - \frac{5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (x - 3) - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 (x - 1)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x - 9 - 5 x - 5 \cdot - 1}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{3 x - 9 - 5 x + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.5

Soustrayez $5 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 2 x - 9 + 5}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$\frac{- 2 x - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x - 4$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 4}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (- x - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $- x - 2$ et $x + 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 2)}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7.4

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (x + 2))}{(x + 2) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{(x - 1) (x - 3)}$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{(x - 1) (x - 3)}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(x - 1) (x - 3)}$