Pré-calcul Exemples

$\frac{3 x + 1}{2 x^{2} - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) - 2} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2}) + 2 (- 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{2} - 1^{2})} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 x + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun à $2 x + 2$ et $2 x^{2} - 8 x + 6$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x) + 2 \cdot 1}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 x^{2} - 8 x + 6}$

Étape 1.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) - 8 x + 6}$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 6}$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 6}$

Étape 1.2.4.4

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 3$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

Étape 1.2.4.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{2 (x + 1)}{2 (x^{2} - 4 x + 3)}$

Étape 1.2.4.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3}$

Étape 1.3

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3 x + 1}{2 (x + 1) (x - 1)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)} \cdot \frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x + 1}{(x - 3) (x - 1)}$ par $\frac{2 (x + 1)}{2 (x + 1)}$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x - 1) (2 (x + 1))$ .

$\frac{(3 x + 1) (x - 3)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 x + 1) (x - 3) + (x + 1) (2 (x + 1))}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(3 x + 1) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (x - 3) + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 (x - 3) + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x \cdot x + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + 1 x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x + 1 \cdot - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 9 x + x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 9 x$ et $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x + 1) \cdot 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (x \cdot 2 + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 1 \cdot 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + (2 \cdot x + 2) (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.6

Développez $(2 x + 2) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x (x + 1) + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 (x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.7.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 8 x - 3 + 2 x^{2} + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.8

Additionnez $3 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 8 x - 3 + 4 x + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.9

Additionnez $- 8 x$ et $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 3 + 2}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.10

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 6.11.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 4 (x) - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $1$ plus $- 5$

$\frac{5 x^{2} + (1 - 5) x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 x^{2} + 1 x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{5 x^{2} + x - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 x^{2} + x) - 5 x - 1}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (5 x + 1) - (5 x + 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 6.11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x + 1$ .

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 x + 1}{2 (x + 1) (x - 3)}$