Pré-calcul Exemples

$\frac{4 i}{1 - i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 i}{1 - i}$ par le conjugué de $1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{4 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 i \cdot 1 + 4 i i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 i + 4 i i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $4 i i$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 i + 4 (i^{1} i)}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 i + 4 (i^{1} i^{1})}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 i + 4 i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 i + 4 i^{2}}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4 i + 4 \cdot - 1}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.4.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 i - 4}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.2.5

Remettez dans l’ordre $4 i$ et $- 4$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{(1 - i) (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(1 - i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i i} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1 i - i - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.7

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 0 - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 - i^{2}} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 - - 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{1 + 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4 + 4 i}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $- 4 + 4 i$ et $2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 4 i}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4 i$ .

$\frac{2 \cdot - 2 + 2 (2 i)}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2) + 2 (2 i)$ .

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2 (1)} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 + 2 i)}{2 \cdot 1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 + 2 i}{1} - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.3.4.4

Divisez $- 2 + 2 i$ par $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{8 + i}{2 + 3 i}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{8 + i}{2 + 3 i}$ par le conjugué de $2 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$- 2 + 2 i - (\frac{8 + i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i})$

Étape 1.5

Multipliez.

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Étape 1.5.1

Associez.

$- 2 + 2 i - \frac{(8 + i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Développez $(8 + i) (2 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{8 (2 - 3 i) + i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{8 \cdot 2 + 8 (- 3 i) + i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{8 \cdot 2 + 8 (- 3 i) + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 + 8 (- 3 i) + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + i \cdot 2 + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 \cdot i + i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.4

Multipliez $i (- 3 i)$ .

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Étape 1.5.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i - 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{16 - 24 i + 2 i + 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.2

Additionnez $16$ et $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 24 i + 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.2.2.3

Additionnez $- 24 i$ et $2 i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.3.1

Développez $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Étape 1.5.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 1.5.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 1.5.3.2.4

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Étape 1.5.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 1.5.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.5.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 1.5.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Étape 1.5.3.2.9

Additionnez $- 6 i$ et $6 i$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 1.5.3.2.10

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 9 i^{2}}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.3.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{4 + 9}$

Étape 1.5.3.4

Additionnez $4$ et $9$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19 - 22 i}{13}$

Étape 1.6

Divisez la fraction $\frac{19 - 22 i}{13}$ en deux fractions.

$- 2 + 2 i - (\frac{19}{13} + \frac{- 22 i}{13})$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 + 2 i - (\frac{19}{13} - \frac{22 i}{13})$

Étape 1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} - - \frac{22 i}{13}$

Étape 1.9

Multipliez $- - \frac{22 i}{13}$ .

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Étape 1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} + 1 \frac{22 i}{13}$

Étape 1.9.2

Multipliez $\frac{22 i}{13}$ par $1$ .

$- 2 + 2 i - \frac{19}{13} + \frac{22 i}{13}$

Étape 2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$- 2 \cdot \frac{13}{13} - \frac{19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Étape 3

Associez $- 2$ et $\frac{13}{13}$ .

$\frac{- 2 \cdot 13}{13} - \frac{19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \cdot 13 - 19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 2$ par $13$ .

$\frac{- 26 - 19}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Étape 5.2

Soustrayez $19$ de $- 26$ .

$\frac{- 45}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{45}{13} + 2 i + \frac{22 i}{13}$

Étape 7

Pour écrire $2 i$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{45}{13} + 2 i \cdot \frac{13}{13} + \frac{22 i}{13}$

Étape 8

Associez $2 i$ et $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{45}{13} + \frac{2 i \cdot 13}{13} + \frac{22 i}{13}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{45}{13} + \frac{48 i}{13}$